Integral de Riemann

En la rama de las matemáticas conocida como análisis real, la integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo.^[1]​ Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada utilizando el teorema fundamental del cálculo o aproximada mediante integración numérica.

La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue.

La integral de Riemann de una función real de variable real se denota usualmente de la siguiente forma:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

Si bien el artículo en gran parte se restringe a la integración sobre intervalos acotados de ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} ^{1}}$, el concepto puede generalizarse a dominios acotados de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sin mucha dificultad.

1. ↑ La integral de Riemann fue introducida en el artículo de Bernhard Riemann «Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» [Sobre la posibilidad de representación de una función por una serie trigonométrica]. Este documento fue presentado a la Universidad de Gotinga en 1854 como la Habilitationsschrift [disertación de habilitación] de Riemann (cualificación para convertirse en instructor). Fue publicado en 1868 en Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen [Procedimientos de la Real Sociedad Filosófica de Gotinga), vol. 13, páginas 87-132. (Disponible en línea aquí.) Para la definición de Riemann de su integral, véase la sección 4, «Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit» [Sobre el concepto de una integral definida y el alcance de su valide], páginas 101 -103.